תרגיל 47: מעוין — מציאת אלכסון דרך פיתגורס
a² + b² = c²S = (אלכסון 1 × אלכסון 2) ÷ 2 השאלה
נתון מעוין ABCD. אורך כל צלע במעוין הוא 10 ס”מ, ואחד האלכסונים אורכו 12 ס”מ. מצאו את שטח המעוין.
מה מתבקשים: חשבו את שטח המעוין.
הפתרון
שלב 1 — זיהוי הצורה: במעוין האלכסונים חוצים זה את זה בזווית ישרה ובאמצע. כלומר נקודת המפגש שלהם מחלקת כל אלכסון לשני חצאים שווים, ויוצרת ארבעה משולשים ישרי זווית חופפים.
שלב 2 — חישוב חצי האלכסון הנתון:
d₁ ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6
שלב 3 — שימוש בפיתגורס במשולש ישר הזווית:
במשולש שנוצר: יתר = הצלע = 10, ניצב אחד = חצי האלכסון הנתון = 6, ניצב שני = חצי האלכסון השני (נסמן x).
6² + x² = 10²
36 + x² = 100
x² = 64
x = √64 = 8
שלב 4 — חישוב האלכסון השני:
האלכסון השני הוא פעמיים החצי שלו:
d₂ = 2 × 8 = 16
שלב 5 — נוסחת השטח:
S = (אלכסון 1 × אלכסון 2) ÷ 2
שלב 6 — הצבה וחישוב:
S = (12 × 16) ÷ 2 = 192 ÷ 2 = 96
תשובה סופית: שטח המעוין הוא 96 ס”מ²
טיפ מבחן 💡
שתי תכונות קריטיות של אלכסוני מעוין שצריך לדעת בעל-פה: (1) הם מאונכים זה לזה (90°), (2) הם חוצים זה את זה לשני חצאים שווים. שתי התכונות יחד הן שמאפשרות להפעיל פיתגורס על משולשי הרבע. בלעדיהן — הפתרון לא עובד.