תרגיל 81: שטח פנים של קונוס — חישוב מפרש בעזרת פיתגורס

נוסחאות בתרגיל: ℓ² = r² + h²S = π × r² + π × r × ℓ

השאלה

לפניכם קונוס שרדיוס בסיסו r = 5 ס”מ וגובהו האנכי h = 12 ס”מ.

קונוס עם רדיוס 5 וגובה 12קונוס עם רדיוס בסיס 5 ס”מ וגובה אנכי 12 ס”מ. המפרש לא נתון ויש לחשבו דרך פיתגורס.h = 12r = 5

מה מתבקשים: חשבו את שטח הפנים הכולל של הקונוס.

הפתרון

שלב 1 — זיהוי הצורה והנתון החסר: קונוס. נתונים רדיוס וגובה אנכי, אך נוסחת שטח הפנים דורשת את המפרש ℓ. נחשב אותו דרך משפט פיתגורס.

שלב 2 — נוסחת המפרש (פיתגורס): ℓ² = r² + h²

שלב 3 — חישוב המפרש: ℓ² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ℓ = √169 = 13

שלב 4 — נוסחת שטח הפנים: S = π × r² + π × r × ℓ

שלב 5 — הצבה: S = π × 5² + π × 5 × 13 = 25π + 65π

שלב 6 — חיבור: S = 90π

תשובה סופית: שטח הפנים של הקונוס הוא 90π ס”מ²

טיפ מבחן 💡

טעות נפוצה: להציב את הגובה h במקום המפרש ℓ ישירות בנוסחה. הגובה הוא הקטע האנכי בתוך הקונוס, המפרש הוא הצלע האלכסונית על פני המעטפת. תמיד בדקו: אם נתון h ולא ℓ — חישבו פיתגורס תחילה.