תרגיל 99: עיגול עם ריבוע חסום שהוסר

נוסחאות בתרגיל: S עיגול = π × r²S ריבוע = צלע²פיתגורס: a² + b² = c²

השאלה

חתכו מלוחית עגולה ברדיוס 5 ס”מ ריבוע החסום בתוך העיגול (כלומר, ארבעת קודקודי הריבוע נמצאים על שפת העיגול, והאלכסון של הריבוע שווה לקוטר העיגול). חשבו את שטח החלק שנותר בלוחית — הטבעת בצורת “נציע” שבין שפת העיגול לבין צלעות הריבוע.

עיגול עם ריבוע חסום שהוסרעיגול ברדיוס 5 סנטימטר עם ריבוע חסום שהאלכסון שלו הוא הקוטר של העיגול.r = 5ריבועאלכסון = 10

מה מתבקשים: חשבו את שטח האזור שבין העיגול לריבוע (הטבעת). השאירו את התשובה במונחי π.

הפתרון

שלב 1 — פירוק לצורות בסיסיות: שטח הטבעת = שטח העיגול − שטח הריבוע.

שלב 2 — שטח העיגול: S עיגול = π × r² = π × 5² = 25π

שלב 3 — מציאת צלע הריבוע (פיתגורס): האלכסון של הריבוע שווה לקוטר העיגול: אלכסון = 2 × r = 10 ס”מ. במשולש ישר זווית שנוצר מחצי הריבוע: צלע² + צלע² = אלכסון², ולכן 2 × צלע² = 10² = 100, מכאן צלע² = 50.

שלב 4 — שטח הריבוע: S ריבוע = צלע² = 50

שלב 5 — חיסור: S טבעת = 25π − 50

תשובה סופית: שטח הטבעת הוא 25π − 50 סמ”ר

טיפ מבחן 💡

שני דברים קריטיים בריבוע חסום בעיגול:

  • האלכסון = הקוטר, ולא הצלע. אם תניחו שצלע = 10, תיתן ריבוע גדול פי 2 מהאמת.
  • לחשב את שטח הריבוע אפשר ישירות מ-צלע², ואין צורך לחלץ את הצלע עצמה (√50). ב-3 יחידות נשארים בערכים מעורבים — 25π − 50 היא תשובה לגיטימית, אסור “לכפות” קירוב.